Der Verdoppelungswürfel ist mysteriös für viele Backgammon Spieler. Gleichzeitig ist er ein ungeheuer wichtiger Teil des Spiels. Jeder erfahrene Spieler wird Dir sagen, dass selbst bescheidene Fehler beim Verdoppeln im Schnitt weit mehr kosten als die meisten groben Fehler beim Steine ziehen.
Dieser Artikel behandelt die Grundlagen des Verdoppelungswürfels, sowohl im Spiel um Geld als auch in Matches. Fortgeschrittene Spieler werden ohne Zweifel sehen, dass einige gute Punkte ausgelassen wurden.
I. Die Grundlagen im Spiel um Geld
Mit “Spiel um Geld” meine ich ein Spiel, wo beide Seiten einen bestimmten Betrag pro Punkt einsetzen. Die Annahme ist, dass jeder Punkt den gleichen Wert hat, und es gibt kein Limit, wieviele Punkte gewonnen oder verloren werden können.
Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel, Schwarz ist an der Reihe:
Schwarz gewinnt nur mit den folgenden Würfen nicht: 11, 21, 31, 41, 32. 9 aus seinen 36 Würfen verlieren, die anderen 27 gewinnen. Weiss ist niemals in der Lage den Verdoppelungswürfel zu seinem Vorteil zu benutzen.
Im Durchschnitt von 36 Spielen, wenn Schwarz verdoppelt und Weiss aufgibt, verliert Weiss natürlich 36 Punkte. Wenn Weiss annimmt wird er:
9 Spiele x 2 Punkte gewinnen = +18
27 Spiele x 2 Punkte verlieren = -54
Netto Verlust: -36
Wir sehen daraus, wenn die annehmende Seite den Verdoppelungswürfel nicht benutzen kann, und es gibt keine Gammons, braucht sie 25% Gewinnchance um anzunehmen. Dieser 25% Wert ist bei Weitem das Wichtigste, was es über den Verdoppelungswürfel zu wissen gibt. In diesem Fall ist Weiss unentschieden zwischen annehmen und aufgeben.
Fügen wir noch ein wichtiges Konzept ein:
Ein effizientes Verdoppeln ist so gut wie ein Gewinn!
Mit "ein effizientes Verdoppeln" meine ich eine Stellung, wo die annehmende Seite unentschieden zwischen annehmen und aufgeben ist. Auf lange Sicht ist der Effekt gleich. 75% Favorit zu gewinnen und Zugriff auf den Verdoppelungswürfel haben ist das Gleiche wie 100% Favorit zu sein wenn man den Verdoppelungswürfel nicht benutzen kann. Genauso ist 76% oder 77% oder 80% Favorit mit Verdoppelungswürfel das Gleiche wie 100% Favorit ohne den Verdoppelungswürfel.
II. Der Wert des Verdoppelungswürfels
Verändern wir die Stellung von oben ein wenig
Schwarz sieht besser aus, nicht wahr? Er gewinnt jetzt auch mit 32 und 41 – 31 Gewinner statt 27, 86.1% Gewinnchance statt 75%
Tatsächlich steht er schlechter! Beachte, dass der Verdoppelungswürfel jetzt auf der weissen Seite ist. Schwarz war effektiv 100% Favorit in der vorherigen Stellung, weil er verdoppeln konnte.
In diesem Fall wird Weiss 86.1% verlieren und 13.9% gewinnen, ein netto Durchschnittsverlust von 0.722 Punkten. Den Verdoppelungswürfel zu besitzen ist 0.278 Punkte wert für ihn.
Es ist unmöglich zu wissen, wenn der Verdoppelungswürfel gedreht wurde, was sein zukünftiger Wert sein wird. Wir verwenden den geschätzten Wert, dass er die Gewinne um 10% erhöht für die Seite, die den Verdoppelungswürfel besitzt.
Dies verändert die Berechnung zum Annehmen ein wenig. Wir müssen die Berechnung lösen:
2 * [ (Gewinn% * 1.1) – (1 – Gewinn% *1.1) = -1
Aufgelöst gibt uns dies 22.73% nötige Gewinne zum Annehmen.
Nimm die folgende Stellung:
Computer Analyse sagt uns, dass Schwarz hier 76.5% der Spiele gewinnt. Aber Weiss sollte annehmen. Nach unserer 10% Daumenregel, gewinnt Weiss tatsächlich 23.5% * 1.1 oder 25.9%. Durch Annehmen verliert er im Durchschnitt 2 * ( .259 - .741) oder 0.964 Punkte, 0.036 besser als aufgeben. (Tatsächlich ist sein Vorteil ein noch bischen höher, weil die 10% Regel in dieser Stellung die weissen Chancen ein wenig untertreibt.)
III. Verdoppeln in Match Situationen
In einem Match sind nicht alle Punkte gleichwertig. Die Wahrscheinlichkeit in Prozent die man zum Verdoppeln annehmen braucht, ändert sich mit dem Spielstand.
Wir beginnen mit einem einfachen Beispiel. Kompliziertere Beispiele gibt es in zukünftigen Artikeln.
Sagen wir, Du liegst 2-0 hinten in einem 3-Punkte Match. Das nächste Spiel, klar, ist Crawford Spiel. Der Zurückliegende muss 2 Spiele hintereinander gewinnen. (Wenn er im ersten Spiel ein Gammon gewinnt, muss er bei Spielstand 2-2 nochmal gewinnen. Wenn er ein einfaches Spiel gewinnt, liegt er 2-1 zurück und verdoppelt bei der ersten Gelegenheit.) Die Wahrscheinlichkeit 2 Spiele hintereinander zu gewinnen ist 50% * 50%, oder 25%. Also hat der Zurückliegende 25% Chance das Match zu gewinnen.
Nehmen wir einmal an, Du liegst 1-0 hinten in einem Match bis 3, und der Gegner verdoppelt. Welche Wahrscheinlichkleit brauchst Du zum Annehmen? Gibst Du auf liegst Du 2-0 Crawford hinten und hast 25% Wahrscheinlichkeit das Match zu gewinnen. Nimmst Du an, verdoppelst Du sofort zurück, also wird das Spiel das Match entscheiden. Darum solltest Du annehmen, wenn Du 25% oder besser stehst das Spiel zu gewinnen (und damit auch das Match).
Die nächste Sektion ist etwas kompliziert, besonders wenn man kein Algebra kann. Ich empfehle sich die Zeit zu nehmen es zu verstehen. Die Konzepte sind sehr wichtig.
Was wenn Du 1-0 führst und Dir verdoppeln auf 2 angeboten wird? Um es einfacher zu machen nehmen wir an, dass:
a) Es gibt keine Gammons
b) Der Führende bei 2-1 Crawford hat 70% das Match zu gewinnen. (Wie man das berechnet klären wir in einem späteren Artikel)
Um zu erfahren, welche Wahrscheinlichkeit Du brauchst um anzunehmen, hast Du die Gleichung zu lösen:
Match-Gewinnchancen wenn ich aufgebe = Match-Gewinnchancen wenn ich annehme
Aufgeben ergibt Gleichstand und damit 50% Gewinnchance, die Gleichung wird zu:
.50 = Spiel-Gewinnchance * 100% + Spiel-Verlustchance * 30%
Nehmen wir G für die Spiel-Gewinnchance. Klar, Verlustchance = 1 – G
Also G + [0.3 * (1-G)] = 0.5
Oder G + 0.3 – 0.3G = 0.5
Subtrahiere 0.3 von beiden Seiten und Du bekommst
G – 0.3 G = 0.2
0.7G = 0.2
dividiere beide Seiten durch 0.7 und Du bekommst
G = 0.2 / 0.7 = 28.7%
Dies ist nicht so kompliziert wie es aussieht. Ein einfacherer Weg es auszudrücken (und wir lassen die ganze Algebra weg) ist:
Gewinnchancen = Verlust wenn man annimmt und verliert / gesamte Menge an Risiko
Hier ist der Verlust 20% (von 50% durch aufgeben, bis 30% durch annehmen und verlieren) und die gesamte Menge an Risiko ist 70% (von 100% durch annehmen und gewinnen, bis 30% durch annehmen und verlieren). Also ist die nötige Gewinnchance zum Annehmen 20% / 70%, genau wie im ersten Beispiel.
Spielt das eine Rolle? Ist diese Information wichtig? Machen wir noch etwas mehr Mathe.
Zuerst, wie oft erreichen Deine Matches einen Spielstand, wo ein Spieler noch 2 und der Andere noch 3 braucht? Wenn Du 3 Punkte Matches spielst, passiert dies jedes Mal wenn das erste Spiel mit einem Punkt endet – also ziemlich oft. In längeren Matches kommt es immer noch regelmässig vor.
Nun schauen wir uns 2 Stellungen an.
Dies steht auf Verdoppeln und an der Grenze zwischen Annehmen und Aufgeben in einem Spiel um Geld. Wenn aber Weiss 1-0 führt, in einem Match bis 3, wäre es ein grober Fehler anzunehmen. Schwarz gewinnt das Spiel in 77.8% der Fälle. Nimmt Weiss an, wird er das Match in 22.2% der Fälle gewinnen, wenn er das Spiel gewinnt, plus 30% vom Rest 77.8%, insgesamt 45.5%. Ein Verlust von 4.5% verglichen mit 50% die er durch Aufgeben bekommt.
Diese Stellung ist das Gleiche für Schwarz, aber wir haben es ein wenig besser gemacht. Jetzt ist es an der Grenze zum Verdoppeln um Geld. Es wäre aber ein erheblicher Fehler nicht zu verdoppeln. Schwarz gewinnt das Match etwa 49.6% der Fälle wenn er Verdoppelt, aber 47.6% wenn er es nicht macht.
Spielt die Rechnung wann man in Matches verdoppeln sollte eine Rolle? Nur wenn es für Dich eine Rolle spielt Deine Match-Gewinnchancen um 2-3% zu erhöhen, jedes Mal wenn diese Art Stellung aufkommt, einfach dadurch diesen einen Aspekt zu verstehen, wie man den Verdoppelungswürfel benutzt.
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